混合背包问题

dp 01背包 多重背包 完全背包 T4 有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

物品一共有三类：

• 第一类物品只能用1次（01背包）；
• 第二类物品可以用无限次（完全背包）；
• 第三类物品最多只能用 sisi 次（多重背包）；

每种体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

• $si=-1$ 表示第 $i$ 种物品只能用 1 次；
• $si=0$ 表示第 $i$ 种物品可以用无限次；
• $si>0$ 表示第 $i$ 种物品可以使用 $si$ 次；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V\le 1000$ $0<v_i,w_i\le 1000$ $-1\le s_i\le 100$

输入样例

4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2

输出样例：

8

思路

f[i][j]:
	当前物品能选几个：
        一个：
        - 不选 f[i - 1][j]
        - 选 f[i - 1][j - v[i]] + w[i]
        无限次：
        - 不选 f[i - 1][j]
        - 选 f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i](j >= k * v[i])
        s_i次：
        - 不选 f[i - 1][j]
        - 选 f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i](k <= s_i && j >= k * v[i])

因为数据范围是1e3, 故朴素版多重背包是不能做的, 需要进行二进制或者滑动窗口优化, 这里就用二进制优化, 也可以直接优化为1维, 不过完全背包是正序其他两个是逆序。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10, M = 1e4 + 10;
int f[M];
int n,m;
 
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int v,w,s;
        cin >> v >> w >>s;
        if(s == 0) // 完全
        {
            for(int j = v; j <= m; j ++)
                f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
            
        }
        else 
        {
            if(s == -1) s = 1;
            for(int k = 1; k <= s; k *= 2)
            {
                for(int j = m; j >= k * v; j--)
                f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
                s -= k;
            }
            if(s)
            {for(int j = m; j >= s * v; j--)
                f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w);
            }
        }
        
    }
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}