背包问题求具体方案

dp 背包求方案

题目

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是 1…N。

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1 2
2 4
3 4
4 6

1 4

思路

和数字三角形模型求路径类似, 是一个DAG最短路问题。 因为要保留路径, 故不能用滚动数组优化。

与求结果的顺序相反, 反方向 判断当前i物品选还是不选：

• 如果f[i][j] == f[i - 1][j - v[i]] + w[i] 说明选上了
• 否则说明没选

选上后则将当前背包容量减去 v[i]

题目要求按字典序排列, 那我们就不能从 n-1 方向来求最短路, 需要用 1-n 来求, 根据反方向原则, 在求DP时要用n-1方向。

在看了紫书的教程后, 这里所做的逆向求解, 其实就是DAG那一节中的以i为起点的写法。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
 
int f[N][N];
int n,m;
int v[N],w[N];
 
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = n; i >= 1; i --)
    {
        for(int j = 0; j <= m; j++)
        {
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    int j = m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(j >= v[i] && f[i][j] == f[i + 1][j - v[i]] + w[i])
        {
            cout << i << " ";
            j -= v[i];
        }
    }
    return 0;
}