最优贸易

贸易差价最大最短路问题 T3 $C$ 国有 $n$ 个大城市和 $m$ 条道路，每条道路连接这 $n$ 个城市中的某两个城市。

任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。

这 $m$ 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 $1$ 条。

$C$ 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。

但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 $C$ 国旅游。

当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。

设 $C$ 国 $n$ 个城市的标号从 $1\sim n$，阿龙决定从 $1$ 号城市出发，并最终在 $n$ 号城市结束自己的旅行。

在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有 $n$ 个城市。

阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。

因为阿龙主要是来 $C$ 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

现在给出 $n$ 个城市的水晶球价格，$m$ 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。

请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

注意：本题数据有加强。

输入格式

第一行包含 $2$ 个正整数 $n$ 和 $m$，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 $n$ 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 $n$ 个城市的商品价格。

接下来 $m$ 行，每行有 $3$ 个正整数，$x，y，z$，每两个整数之间用一个空格隔开。

如果 $z=1$，表示这条道路是城市 $x$ 到城市 $y$ 之间的单向道路；如果 $z=2$，表示这条道路为城市 $x$ 和城市 $y$ 之间的双向道路。

输出格式

一个整数，表示答案。

数据范围

$1\le n\le 100000$,
$1\le m\le 500000$,
$1\le 各城市水晶球价格\le 100$

输入样例：

5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2

输出样例：

5

思路

赚最大钱的时候肯定是在最小价格时买入, 再之后走到的最大价格处卖出。

可以先从起点做最短路, 代表 $S-i$ 中的最小价格, 再求一遍从终点开始的最长路, 代表 $i-T$ 的最大价格。 最后再枚举所有点, 求出 $maxv[i]-minv[i]$ 的最大值即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e6, INF = 0x3f3f3f3f;
int hs[N], ht[N], e[M], ne[M], idx;
int n,m;
int maxv[N], minv[N];
int w[N];
int q[N];
bool st[N];
 
void add(int h[], int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
 
void spfa(int h[], int dist[], bool flag)
{
    memset(st, 0, sizeof st);
    int hh = 0, tt = 1;
    if(flag) // 最小值
    {
        memset(dist, 0x3f, sizeof minv);
        q[0] = 1;
        dist[1] = w[1];
    }
    else
    {
        memset(dist, -0x3f, sizeof maxv);
        q[0] = n;
        dist[n] = w[n];
    }
    st[q[hh]] = true;
    while(hh != tt)
    {
        int t= q[hh++];
        if(hh == N) hh = 0;
        
        st[t] = false;
        
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(flag && dist[j] > min(dist[t], w[j]) || !flag && dist[j] < max(dist[t], w[j]))
            {
                if(flag) dist[j] = min(dist[t], w[j]);
                else dist[j] = max(dist[t], w[j]);
                if(!st[j])
                {
                    q[tt++] = j;
                    if(tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    
}
 
int main()
{
    
    memset(hs, -1, sizeof hs);
    memset(ht, -1, sizeof ht);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
    while(m--)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(hs, a, b), add(ht, b, a);
        if(c == 2) add(hs, b, a), add(ht, a, b);
    }
    
    spfa(hs, minv, 1);
    spfa(ht, maxv, 0);
    
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        res = max(res, maxv[i] - minv[i]);
        
    cout << res << endl;
    return 0;
}