HNOI2008 越狱

组合数 容斥原理 T2

https://www.luogu.com.cn/problem/P3197

题目描述

监狱有 $n$ 个房间，每个房间关押一个犯人，有 $m$ 种宗教，每个犯人会信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

答案对 $100,003$ 取模。

输入格式

输入只有一行两个整数，分别代表宗教数 $m$ 和房间数 $n$。

输出格式

输出一行一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

2 3

样例输出 #1

6

提示

样例输入输出 1 解释

状态编号	1 号房间	2 号房间	3 号房间
1	信仰 1	信仰 1	信仰 1
2	信仰 1	信仰 1	信仰 2
3	信仰 1	信仰 2	信仰 2
4	信仰 2	信仰 1	信仰 1
5	信仰 2	信仰 2	信仰 2
6	信仰 2	信仰 2	信仰 1

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le m\le 10^8$，$1\le n\le 10^{12}$。

思路

有 n 个房间， 染 m 种色， 要求相邻房间同色的方案数。

易知总方案数为 $m^n$， 且相邻房间不同色的方案数为 $m\times (m-1)\times (m-1)\times \cdots =m\times (m-1{)}^{n-1}$ 。

则就直接用容斥定理， 最终方案数就是 $m^n-m\times (m-1{)}^{n-1}$ ， 因为有取模， 故有概率会得到负数， 需要 $(x+MOD)\%MOD$ 给变成非负数。

代码

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const int MOD = 100003;
 
    int qmi(LL a, LL b, int p)
    {
        int res = 1;
        while(b)
        {
            if(b & 1) res = (res * a) % p;
            a = (a * a) % p;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }
 
    void solve() {
        LL n,m;
        cin >> m >> n;
        cout << (qmi(m,n,MOD) - (m * qmi(m-1,n-1,MOD)) % MOD + MOD)% MOD << endl;
    }
 
    int main() {
        ios::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(nullptr);
        solve();
        return 0;
    }